\section{Método do histograma} 
 
%\subsection{Simples}
O método do histograma é uma das técnicas de análise de dados mais utilizada em conjunto com a simulação computacional. Esta técnica permite extrapolar os resultados da simulação computacional realizada em uma determinada temperatura $T_0$ a uma faixa de temperaturas em torno de $T_0$. Isto permite obter, com eficiência, propriedades estatísticas com grande precisão e economia de tempo computacional, visto que o tempo gasto pelo método é muito inferior ao de se realizar a simulação em diferentes temperaturas. O método do histograma é baseado na idéia inicialmente proposta por Valleau e Carde\cite{valleau1972monte}. A versão mais comum, e utilizada neste trabalho, foi proposta por Ferrenberg e Swendsen \cite{Ferrenberg1988}.  

Em linhas gerais, o método parte de uma simulação Monte Carlo de um sistema qualquer (o modelo XY, por exemplo), realizada a uma dada temperatura fixa. Essa simulação gera configurações de acordo com a distribuição canônica de probabilidades
%
\begin{equation}
p_{\beta _0 } (x) = \frac{1}
{{\Z_{\beta _0 } }}\exp \left[ { - \beta _0 \H(x)} \right],
\label{}
\end{equation}
%
\begin{equation}
\Z_{\beta _0 }  = \sum\limits_{\left\{ x \right\}} {\exp \left[ { - \beta _0 \H(x)} \right]} ,
\label{}
\end{equation}
onde x representa uma dada configuração do sistema, $\beta _0  = \frac{1}{{k_B T_0 }}$, $k_B$ é a constante de Boltzmann, $\H(x)$   é o hamiltoniano do sistema estudado e $\Z$ é a função partição.

A distribuição de probabilidades $p_{\beta _0} (x)$   contém toda a informação termodinâmica sobre o sistema. Entretanto, é mais conveniente trabalhar com uma distribuição equivalente, $p_{\beta _0 } (E)$, para o espectro de energias do sistema
%
\begin{equation}
p_{\beta _0 } (E) = \frac{1}
{{Z_{\beta _0 } }}W(E)\exp \left[ { - \beta _0 E} \right],
\label{eq:dp}
\end{equation}
onde $W(E)$ é o número de estados com energia $E$. Para um sistema com um espectro contínuo de energias $W(E)$ torna-se uma densidade de estados de energia entre $E$ e $E
+ \delta E$. A média térmica de qualquer função de $E$ pode ser obtida com
%
\begin{equation}
\left\langle {f(E)} \right\rangle _{\beta _0 }  = \frac{1}
{{Z_{\beta _0 } }}\sum\limits_E {f(E)W(E)\exp \left[ { - \beta _0 E} \right]} .
\label{}
\end{equation}

O método parte do princípio que a simulação Monte Carlo gera configurações de acordo com a distribuição de probabilidades de equilíbrio, logo um histograma $H(E)$ da energia gerado durante a simulação vai fornecer uma estimativa para a distribuição $p_{\beta _0} (x)$ dado pela  Eq. (\ref{eq:dp}), que será mais precisa quanto maior for o número de passos de Monte Carlo realizados (MCs). Dessa forma, pode-se escrever 
%
\begin{equation}
\frac{{H(E)}}
{{{\text{MCs}}}} = \frac{1}
{{Z_{\beta _0 } }}W(E)\exp \left[ { - \beta _0 E} \right].
\label{}
\end{equation}
Assim, pode-se obter a densidade de probabilidade da energia invertendo a equação para $W(E)$
%
\begin{equation}
W(E) = \frac{{Z_{\beta _0 } }}
{{{\text{MCs}}}}H(E)\exp \left[ { - \beta _0 E} \right]
\label{}
\end{equation}
%
e, para uma temperatura arbitrária $T$, tem-se 
%
\begin{equation}
p_\beta  (E) = \frac{1}
{{Z_{\beta _0 } }}W(E)\exp \left[ { - \beta E} \right].
\label{}
\end{equation}
Normalizando a equação acima encontra-se
%
\begin{equation}
p_\beta  (E) = \frac{{W(E)\exp \left[ { - \Delta \beta E} \right]}}
{{\sum\limits_E {W(E)\exp \left[ { - \Delta \beta E} \right]} }}.
\label{}
\end{equation}
Assim, a média de uma quantidade termodinâmica qualquer é dada por 
%
\begin{equation}
\left\langle {f(E)} \right\rangle _\beta   = \frac{{\sum\limits_E {f(E)W(E)\exp \left[ { - \Delta \beta E} \right]} }}
{{\sum\limits_E {W(E)\exp \left[ { - \Delta \beta E} \right]} }}.
\label{eq:mediahist}
\end{equation}

Em suma, o método do histograma dá uma estimativa da distribuição de probabilidades para uma temperatura $T$ a partir da distribuição de probabilidades obtida para uma temperatura $T_0$. Contudo, pelo fato de o número de passos de Monte Carlo ser finito na simulação utilizada para obter o histograma, a confiabilidade da estimativa realizada pelo método do histograma fica limitada a uma faixa estreita em torno da temperatura inicial onde a simulação foi realizada. Quando  $\Delta T$ se torna muito grande, flutuações consideráveis aparecem na distribuição de probabilidades extrapolada. Isto acontece porque, para uma simulação realizada em $T_0$, os estados visitados limitam-se a um volume do espaço de fase relativamente restrito. Assim, para se estimar a distribuição de probabilidades além dessa região, a informação disponível sobre esse domínio do espaço de configurações é tão pobre ou inexistente, que a extrapolação resultante torna-se insatisfatória. Na prática, o que se faz é obter a distribuição de probabilidades estimada e compará-la com a distribuição obtida à temperatura $T_0$ da simulação. Se a distribuição estimada se afasta demais daquela obtida para $T_0$, tornando-se ruidosa, uma nova simulação é realizada, na vizinhança da temperatura que se deseja estudar. A faixa de confiabilidade do método é reduzida com o aumento do tamanho da rede estudada, já que as flutuações diminuem com o aumento de L, ao mesmo tempo em que o próprio espaço de configurações cresce, o que faz com que a fração do volume do espaço de fases coberto numa simulação diminua.

No caso dos modelos estudados neste trabalho, o espectro de energias é contínuo e, para a construção do histograma, é necessário discretizar a distribuição de probabilidades, escolhendo um passo de discretização adequado. Entretanto, uma alternativa que elimina a necessidade da discretização no cálculo das médias termodinâmicas (Eq. \ref{eq:mediahist}) é a leitura, linha por linha, de uma tabela de energias e magnetizações (ou outras grandezas f (E) desejadas), armazenada durante a simulação na temperatura $T_0$. Esse processo é equivalente a computar-se o somatório da Eq.(\ref{eq:mediahist}) e poupa-nos dos
problemas introduzidos pela discretização.

%\subsection{Multidimensional}
